Materi SUB RING Kuliah | Definisi, Teorema dan Contoh Soal Sub Ring
Materi SUB RING Kuliah | Definisi, Teorema dan Contoh Soal Sub Ring |
SUB RING
Definisi :
Suatu himpunan R yang tidak kosong merupakan subring dari ring ( R ; + ; x ) bhb terhadap operasi yang sama dengan R, suatu ring dan R C R atau ( R ; + ; x ) suatu subring dari ( R ; + ; x ) berhubungan R C R dan memenuhi 2 sifat :
1. R’ tidak = 0
2. (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta R
3. (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta R
Syarat (1) menyatakan bahwa (;+) adalah merupakan suatu Grup Komutatif.
Syarat (2) menyatakan bahwa ( ) adalah merupakan suatu Semigrup. Sehingga dapat kita katakan bahwa syarat-syarat tersebut telah memenuhi syarat dari suatu Ring. Dikarenakan adalah himpunan bagian dari R C R, maka dapat dikatakan sebagai Subring dari R.
Contoh :
1. Misalkan P= {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring, tunjukan bahwa Q = {0, 2} adalah Subring dari P.
Penyelesaian :
Akan ditunjukan bahwa Q = {0, 2} memenuhi syarat-syarat dari suatu Ring.
(i). Q tidak = 0 karena Q = {0, 2}
1. (ii). (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta P
Misal : 0 , 2 C P => 0 – 2 = 2 => 2 C P
(iii).(setiap a,b anggota R) (a x b) anggta R
Misal : 0 , 2 C P => 0 x 2 = 0 => 0 C P
Syarat (i) , (ii) , (iii) terpenuhi maka Q adalah subring dari P
2. Diketahui himpunan bilangan Prima ( P ; + ; x ) dan ring dari himpunan bilangan cacah ( C ; + ; x ). Selidiki apakah ( P ; + ; x ) Subring dari (C ; + ; x ).
Penyelesaian :
Akan dibuktikan bahwa P subring dari ( C ; + ; x ).
(i). P tidak = 0karena P = { 2, 5, 7, 11, 13,.....}
1. (ii). (setiap a,b anggota R) (a-b) anggta P
Misal : 5 , 7 C P => 7-5 = 2 => 2 C C
4. (iii). (setiap a,b anggota R) (a x b) anggta P
Misal : 7 x 5 = 35=> 35 C C
Karena Syarat (i) , (ii) , (iii) terpenuhi maka ( P ; + ; x ) adalah subring dari ( C ; + ; x ).
3. Diketahui Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta B. terhadap operasi penjumlahan dari penggandaan matriks. Apakah subring dari ring matriks M ordo 2 ?
Penyelesaian
Akan dibuktikan Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta Bsuatu subring dari ( M ; + ; x )
M’ C M atau Matrik (x 0, y z) C Matrik (x 0, y z)
(i). M’ tidak = 0 karena Matrik (x 0, y z) I setip x,y,z anggta B
(ii). Ambil Matrik (x1 01, y1 z1) anggota M’ Matrik (x2 02, y2 z2)
Dengan x1, y1, z1, x2, y2, z2
Matrik (x1 01, y1 z1) - Matrik (x2 02, y2 z2) = Matrik (x1-x2 0, y1-y2 z1-z2)
Sehingga (x1-x2 0, y1-y2 z1-z2)
Karena semua merupakan anggota B maka anggota M’
(iii). Matrik (x1 01, y1 z1) - Matrik (x2 02, y2 z2)
= Matrik (x1.x2 0, y1x2+y2z1 z1z2)
sehingga
= Matrik (x1.x2 0, y1x2+y2z1 z1z2) anggota M’
Belum ada Komentar untuk "Materi SUB RING Kuliah | Definisi, Teorema dan Contoh Soal Sub Ring"
Posting Komentar