Contoh Soal Pembuktian Teori Ring
 |
| Contoh Soal Pembuktian Teori Ring |
RING BUKTI
7. Diketahui K = {(a,b) I a,b angota Z dan b tidak = 0}
Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap (a,b) , (c,d) angota K, (a, b) = (c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d
( a, b) +(c, d) = (ad + bc , bd )
( a, b) *( c, d) = ( ac , bd )
Selidilah apakah ( K , +,*) merupakang ring.
Jawab:
Diketahui K = {(a,b) I a,b anggota Z dan b tdk = 0}
Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :
Untuk setiap (a,b) , (c,d) anggota K, (a, b) = (c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d
( a, b) + (c, d) = (ad + bc , bd )
( a, b) * ( c, d) = ( ac , bd )
Sebuah sistem aljabar ( K ,+ , *) adalah sebuah ring jika dipenuhi:
1. ( K , +) merupakan grup abelian
a. Adib ( K ,+) grup
(i) ( K , +) tertutup terhadap K
(a,b), (b,c) angoota K ada (a,b) +(c,d) = (ad + bc, bd)
ad + bc angota Z (sifat bilangan bulat)
bd angota Z (sifat bilangan bulat)
maka (ad + bc, bd) anggota Z
(ii) Assosiatif
Setiap (a,b), (c,d) dan (e,f) angta K
((a,b) +(c,d)) + (e,f) = (ad + bc, bd ) +(e,f)
= ((ad +bc)f +bde, bdf)
= (adf + bcf + bde, bdf)
(a,b) +((c,d) +(e,f)) = (a,b) + (cf + de , df)
= (adf +b(cf+ de), bdf
= adf +bcf +bde , bdf
Karena ((a,b) +(c,d)) +(e,f) = (a,b) +((c,d) +(e,f)), maka sifat assosiatif dipenuhi
(iii) Elemen identitas
Ada e angota K, setiap (a,b) angota K ada (a,b) +e = e + (a,b) = (a,b)
Mis : e = (x,y) maka
(a,b) +(x,y) = (a,b)
( ay +bx , by) = (a,b)
ay + bx = a……1)
by = b…………2)
Dari persamaan 2)
by = b
y = 1
Dari persamaan 1)
ay + bx = a
a + bx = a
bx = 0
x = 0
Maka elemen identitas (x,y) = (0,1)
\
(iv) Invers
ada (a,b)^ -1 angota K ada (a,b) + (a,b)^-1 = (a,b)^-1 (a,b) = e
Misal (a,b)-1 = (p,q)
(a,b) +(a,b)-1 = (0,1)
(a,b)-1 = (p,q)
(a,b) +(p,q) = (0,1)
(aq + bp, bq) = (0,1)
aq + bp = 0
bq = 1
q = 1/b
dari persamaan diatas akan ditentukan nilai p,maka
a . 1/b + bp = 0
a/b+ bp = 0
bp = - a/b
p = -a/b^2
Jadi (a,b)-1 = (-a/b^2, 1/b) dengan a,b Z
(v) Abelian
(a,b) +(c,d) = (ad+bc, bd)
= (bc+ad, db) …………….. sifat komutatif pada penjumlahan
= (cb + da, db)……………. Sifat komutatif pada perkalian
(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)
Karena (a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) maka sifat abelian terpenuhi
2. Himpunan K tertutup dan assosiatif terhadap *
a. Tertutup
(a,b), (c,d) K (a,b) (c,d) = (ac, bd)
ac Z dan bd Z
Jadi tertutup dipenuhi
b. Assosiatif
setiap (a,b), (c,d) dan (e,f) K ((a,b) (c,d)) (e,f) = (a,b) ((c,d) (e,f))
((a,b) (c,d)) (e,f) = (ac,bd) (e,f)
= (ace , bdf)
(a,b) ((c,d) (e,f)) = (a,b) (ce, df)
= (ace , bdf)
Karena ((a,b) (c,d)) (e,f) = (a,b) ((c,d) (e,f)) = (ace, bdf) maka sifat assosiatif terpenuhi
3. Hukum distributif kiri dan kanan
vi) Distributif kiri
X* (y + z) = xy + xz
(a,b) *((c,d) +(e,f)) = (a,b) *(cf + de, df)
= (acf + ade, bdf)
Ambil, bZ shg,
(a,b) *((c,d) +(e,f) = (bacf + bade, bbdf)
= (acbf + bdae, bdbf)……………..(sifat komutatif perkalian)
= (ac, bd) (ae, bf)
(a,b) *((c,d) + (e,f)) = ((a,b) * (c,d)) + ((a,b) *(e,f))
(vii) Distributif kanan
(x+y) * z = xz+yz
((a,b) + (c,d)) *(e,f) = (ad + bc, bd) * (ef)
= (e(ad + bc), bdf)
= (ade + bce, bde)
Ambil , fangota Z shg,
((a,b) + (c,d)) *(e,f) = (aedf + bfce, bfdf)
= (ae, bf) (ce, df)
((a,b) + (c,d)) * (e,f) = ((a,b) * (e,f)) + ((c,d) *(e,f))
Belum ada Komentar untuk "Contoh Soal Pembuktian Teori Ring"
Posting Komentar